И построение эмпирических формул  

И построение эмпирических формул

Пусть при изучении функциональной зависимости получен ряд значений величин х и y:

х х0 x1 xn
y y0 y1 yn

Если аналитическое выражение функции неизвестно или весьма сложно, то находят эмпирическую формулу

(1)

где неизвестные параметры согласно методу наименьших квадратов выбираются таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений значений от , вычисленных по формуле (1), была наименьшей, то есть

. (2)

Система уравнений для нахождения неизвестных параметров формулы (1) имеет вид:

. (3)

Решив систему (3) (в случае ее разрешимости), найдем так называемые наилучшие, или оптимальные, параметры Тогда искомая эмпирическая формула примет вид:

В случае, когда функция (1) имеет вид многочлена

степени m £ n, то система (3) имеет единственное решение и, значит, составление эмпирической формулы

(4)

возможно. Погрешность эмпирической формулы (4) оценивается с помощью среднеквадратической ошибки:

.

Многочлен (4) называется наилучшим среднеквадратическим приближением функции в классе многочленов степени m.

Виды функциональной зависимости

1. Линейная зависимость. Эмпирическая формула для этой зависимости имеет вид , а система (3) нахождения наилучших ее параметров принимает вид:

(5)

где .

2. Квадратичная зависимость. Эмпирическая формула в этом случае имеет вид , а система (3) переходит в систему

3. Степенная зависимость. Эмпирическая формула имеет вид . Логарифмируя эту формулу и вводя новые переменные

видим, что исходная степенная зависимость сводится к линейной зависимости между Y и X:

где

Наилучшие параметры для этой линейной зависимости найдем из системы (5) с коэффициентами

Тогда параметры и будут наилучшими в эмпирической формуле для степенной зависимости: .

Контрольные вопросы

1. Как ставится задача точечной аппроксимации функции?

2. Как определяется многочлен наилучшего среднеквадратического приближения функции? Как связана его степень с количеством заданных узловых точек? Когда он совпадает с интерполяционным многочленом?

3. Как обосновывается существование и единственность многочлена наилучшего приближения?

4. Какая задача требует составления эмпирической формулы?

5. Как определяются наилучшие параметры выбранной эмпирической формулы? Как называется этот метод?

6. Как оценивается погрешность составленной эмпирической формулы?

Задание №1.По заданной таблице приближенных значений функции y=f(x) найти эмпирическую формулу в виде:

; ; .

Варианты задания 1 приводятся в таблице 7.



Задание №2. Приведите графики исходной и полученных в задании 1 зависимостей на одном рисунке.

Задание №3. Выберите из полученных в задании 1 формул наилучшую по критерию наименьшей среднеквадратической ошибки.

Таблица 7



0875418667527244.html
0875488356721405.html
    PR.RU™